hoď ma hore
Milí diskutujúci. Pri diskutovaní prosím: 1. nepridávaj témy pozostávajúce len z odkazov alebo jednoslovné témy / 2. nepridávaj uražlivé alebo vulgárne komentáre. Ak tieto pravidlá nedodržíš, tvoja téma pravdepodobne skončí v koši. Príjemné diskutovanie :)
none
ak chceš diskutovať, musíš sa registrovať. registrácia

tu sa nachádzaš : 

hlavná stránka  /  rôzne  /  téma

Tajomný vzťah medzi číslami PÍ a e.

príspevkov
12
zobrazení
6
tému vytvoril(a) 27.4.2020 08:37 spm11
posledná zmena 27.4.2020 12:38
1
27.04.2020, 08:37
Aby som túto skutočnosť lepšie popísal. Vieme, že komplexné číslo "Z" má 2 zložky: reálnu časť a imaginárnu časť. Napríklad:

Z = 5 + i3

...pričom "i" je imaginárna jednotka. O tej platí, že odmocnina(-1)=i Preto bolo číslo "i" vymyslené, aby sme ním označili odmocninu zo zápornej jednotky, ktorá sa normálne počítať nedá, lebo akékoľvek číslo na druhú, je kladné. Tak vymysleli komplexné čísla, kde vystupuje táto imaginárna jednotka. Imaginárna jednotka "i" má ďalšie zaujímavé vlastnosti. Vieme teda už, že:

i = Odmocnina(-1)

Keď dve takéto odmocniny medzi sebou vynásobíme, dostaneme výsledok -1, čiže:

Odmocnina(-1) x Odmocnina(-1) = -1

....čo je vlastne to isté, ako:

i x i = -1

Ďalej niekoho napadlo, vytvoriť dve osi, x a y, aby sme si toto dvojzložkové komplexné číslo vedeli predstaviť i graficky. Tí, čo to vymysleli rozhodli, že os x bude znázorňovať reálnu zložku a os y imaginárnu zložku. Čiže vlastne súradnice bodu v rovine - pričom ten bod, je to komplexné číslo.
.....Hneď začalo byť jasné, že sa dá ísť ešte ďalej a na vyjadrenie polohy toho bodu sa dá použiť kružnica a funkcie sínus, cosínus.
-Pokiaľ uvažujeme kružnicu s polomerom 1, tak komplexné číslo môžeme zapísať ako:

z = cos(uhol) + i.sin(uhol)

Cosínus vyjadruje polohu na osi X, čiže reálnu zložku čísla a sínus polohu na osi Y, čiže imaginárnu zložku.

Zaujímavú vec zistíme, keď obe zložky zderivujeme podľa nekonečne malého prírastku uhla:

dz / d(uhol) = d( cos(uhol) + i.sin(uhol) ) / d(uhol)

Vieme, že derivácia cosínusu je -sínus a deriváciou sínusu cosínus. Preto dostaneme po zderivovaní pravej strany toto:

dz / d(uhol) = -sin(uhol) + i.cos(uhol)

Vieme už ale, že i x i = -1. Preto môžeme tú mínus jednotky stojacu pred sínusom premeniť na i x i:

dz / d(uhol) = i.i.sin(uhol) + i.cos(uhol)

"i" teraz môžeme vytknúť pred zátvorku:

dz / d(uhol) = i (i.sin(uhol) + cos(uhol))

....a zrazu zisťujeme, že celý člen v zátvorke stojaci za i je vlastne "z". Vieme totiž, že:

z = cos(uhol) + i.sin(uhol)

Môžeme teda napísať, že:

dz / d(uhol) = i . z

.....A toto je veľmi zaujímavé. Zistili sme, že derivácia (čiže rýchlosť zmeny) komplexného čísla sa rovná jeho vlastnej hodnote, vynásobenej imaginárnou jednotkou. (Jedná sa samozrejme o jeho znázornenie ako bod v rovine na kružnici, pričom meníme uhol ramena polomeru kružnice).

Pýtame sa teraz: existuje taká funkcia, ktorej výsledkom derivácie je jej vlastná hodnota?
-Odpoveď znie: áno.
Je to funkcia e^x. Pozor, nie EnaXnaY, ale iba EnaX.
Derivácia d(e^x)/dx = e^x.

Preto môžeme v našom vzťahu:

dz / d(uhol) = i . z

písmeno zet nahradiť funkciou EnaX-tú a je to vlastne to isté. K tomuto záveru dospejeme aj keď to celé zintegrujeme. Najprv si prehádžeme členy, čím si vzťah pripravíme na integráciu:

dz / z = i . d(uhol)

....a môžeme integrovať:

Integrál ( dz / z ) = Integrál ( i . d(uhol) )

"i" je konštanta, takže tá sa integrovaním nemení, preto ide pred integrál:

Integrál ( 1 / z . dz) = i . Integrál d(uhol)

....a už len spočítame a dostaneme:

ln z = i . uhol

zbavíme sa prirodzeného logaritmu ln povýšením oboch strán rovnice do exponentu čísla "e":

z = e^(i.(uhol))

A MÁME TO, o čom som hovoril.

TAK a teraz sa môžeme vrátiť k pôvodnému zápisu čísla "z":

z = cos(uhol) + i.sin(uhol)

Oba vzorce teraz môžeme dať do rovnosti:

e^(i.(uhol)) = cos(uhol) + i.sin(uhol)

....a to je ten tajomný vzťah. Eulerov vzorec. Tajomnosť toho vzorca sa wšte vystupňuje, keď za uhol dosadíme číslo PÍ:


e^(i.pi) = cos(pi) + i.sin(pi)
e^(i.pi) = -1 + i.0
e^(i.pi) = -1

A máme to tu. Záhadný vzťah medzi číslom PÍ a "e", ktorý je celočíselný. Mínus jedna.
none
6

1. spm11 27.04.2020, 08:37

Aby som túto skutočnosť lepšie popísal. Vieme, že komplexné číslo "Z" má 2 zložky: reálnu časť a imaginárnu časť. Napríklad:

Z = 5 + i3

...pričom "i" je imaginárna jednotka. O tej platí, že odmocnina(-1)=i Preto bolo číslo "i" vymyslené, aby sme ním označili odmocninu zo zápornej jednotky, ktorá sa normálne počítať nedá, lebo akékoľvek číslo na druhú, je kladné. Tak vymysleli komplexné čísla, kde vystupuje táto imaginárna jednotka. Imaginárna jednotka "i" má ďalšie zaujímavé vl...

27.04.2020, 11:51
Zaujímavý vzťah tiež získame, keď za uhol dosadíme pí/2:

e^(i.pí/2) = cos(pí/2) + i.sin(pí/2)
e^(i.pí/2) = 0 + i.1
e^(i.pí/2) = i

Keď obe strany zlogaritmujeme, vznikne vzťah:

i.pí/2 = ln(i)
i.pí =2.ln(i)

po vynásobení oboch strán číslom i:

-pí = 2i.ln(i)
tj.:
pí = -2i.ln(i)

Po návrate späť do exponentu dostaneme

e^(pí) = e^(-2i.ln(i))

e^(pí) = i^(-2i)
none
5
27.04.2020, 11:37
👍: spm11
none
7

5. Bijoux 27.04.2020, 11:37

http://www.math.uni-bonn.de/people/wynands/PI_und_e_zwei_besondere_Zahlen.pdf

27.04.2020, 12:02
Len ešte rozumieť nemčine a budem rád.
none
8

7. spm11 27.04.2020, 12:02

Len ešte rozumieť nemčine a budem rád.

27.04.2020, 12:19
11. to je len ozrejmenie k úvodu pre ostatnych .
none
10

8. Bijoux 27.04.2020, 12:19

11. to je len ozrejmenie k úvodu pre ostatnych .

27.04.2020, 12:21
My, ostatní ti na to serieme 😉
none
9
27.04.2020, 12:21
omg, ako sa ten chudák upoteny zase snazí si vynútit pozornost . nezájem
none
11

9. Bijoux 27.04.2020, 12:21

omg, ako sa ten chudák upoteny zase snazí si vynútit pozornost . nezájem

27.04.2020, 12:24
Len pubertiačky hovoria omg, lol 😉
none

najnovšie príspevky :

prevádzkuje diskusneforum.sk kontaktuj správcu diskusného fóra vytvoril dzI/O 2023 - 2024 verzia : 1.05 ( 27.4.2024 1:45 ) veľkosť : 109 666 B vygenerované za : 0.084 s unikátne zobrazenia tém : 72 834 unikátne zobrazenia blogov : 1 602 táto stránka musí používať koláčiky, aby mohla fungovať...

možnosti

hlavná stránka nastavenia blogy todo

online účastníci :

nikto je online

hľadanie :

blog dňa :

odkaz S evolúciou je to ako keď ideš do Tesca na nákup 😉 Prečo ideš na nákup? 😉 Len preto aby si sa prešiel? 😉 Alebo preto, že si hladný a chceš si kúpiť jesť? 😉 Máš nejaký cieľ alebo...

citát dňa :

V živote trvá minútu,
kým si všimneš niekoho zvláštneho, hodinu, aby si si ho vážil, jeden deň,
aby si ho miloval a celý život potrebuješ na to, aby si na neho zabudol.