Ísť na začiatok.
prihlásenie:
Registrácia  |  Zabudnuté heslo
tu sa nachádzate: hlavná stránka  rôzne  téma
kategórie:  

Tajomný vzťah medzi číslami PÍ a e.

5
reakcií
833
prečítaní
Tému 27. apríla 2020, 08:37 založil spm11.

podobné témy:



1.
označiť príspevok

spm11 muž
   27. 4. 2020, 08:37 avatar
Aby som túto skutočnosť lepšie popísal. Vieme, že komplexné číslo "Z" má 2 zložky: reálnu časť a imaginárnu časť. Napríklad:

Z = 5 + i3

...pričom "i" je imaginárna jednotka. O tej platí, že odmocnina(-1)=i Preto bolo číslo "i" vymyslené, aby sme ním označili odmocninu zo zápornej jednotky, ktorá sa normálne počítať nedá, lebo akékoľvek číslo na druhú, je kladné. Tak vymysleli komplexné čísla, kde vystupuje táto imaginárna jednotka. Imaginárna jednotka "i" má ďalšie zaujímavé vlastnosti. Vieme teda už, že:

i = Odmocnina(-1)

Keď dve takéto odmocniny medzi sebou vynásobíme, dostaneme výsledok -1, čiže:

Odmocnina(-1) x Odmocnina(-1) = -1

....čo je vlastne to isté, ako:

i x i = -1

Ďalej niekoho napadlo, vytvoriť dve osi, x a y, aby sme si toto dvojzložkové komplexné číslo vedeli predstaviť i graficky. Tí, čo to vymysleli rozhodli, že os x bude znázorňovať reálnu zložku a os y imaginárnu zložku. Čiže vlastne súradnice bodu v rovine - pričom ten bod, je to komplexné číslo.
.....Hneď začalo byť jasné, že sa dá ísť ešte ďalej a na vyjadrenie polohy toho bodu sa dá použiť kružnica a funkcie sínus, cosínus.
-Pokiaľ uvažujeme kružnicu s polomerom 1, tak komplexné číslo môžeme zapísať ako:

z = cos(uhol) + i.sin(uhol)

Cosínus vyjadruje polohu na osi X, čiže reálnu zložku čísla a sínus polohu na osi Y, čiže imaginárnu zložku.

Zaujímavú vec zistíme, keď obe zložky zderivujeme podľa nekonečne malého prírastku uhla:

dz / d(uhol) = d( cos(uhol) + i.sin(uhol) ) / d(uhol)

Vieme, že derivácia cosínusu je -sínus a deriváciou sínusu cosínus. Preto dostaneme po zderivovaní pravej strany toto:

dz / d(uhol) = -sin(uhol) + i.cos(uhol)

Vieme už ale, že i x i = -1. Preto môžeme tú mínus jednotky stojacu pred sínusom premeniť na i x i:

dz / d(uhol) = i.i.sin(uhol) + i.cos(uhol)

"i" teraz môžeme vytknúť pred zátvorku:

dz / d(uhol) = i (i.sin(uhol) + cos(uhol))

....a zrazu zisťujeme, že celý člen v zátvorke stojaci za i je vlastne "z". Vieme totiž, že:

z = cos(uhol) + i.sin(uhol)

Môžeme teda napísať, že:

dz / d(uhol) = i . z

.....A toto je veľmi zaujímavé. Zistili sme, že derivácia (čiže rýchlosť zmeny) komplexného čísla sa rovná jeho vlastnej hodnote, vynásobenej imaginárnou jednotkou. (Jedná sa samozrejme o jeho znázornenie ako bod v rovine na kružnici, pričom meníme uhol ramena polomeru kružnice).

Pýtame sa teraz: existuje taká funkcia, ktorej výsledkom derivácie je jej vlastná hodnota?
-Odpoveď znie: áno.
Je to funkcia e^x. Pozor, nie EnaXnaY, ale iba EnaX.  
Derivácia d(e^x)/dx = e^x.

Preto môžeme v našom vzťahu:

dz / d(uhol) = i . z

písmeno zet nahradiť funkciou EnaX-tú a je to vlastne to isté. K tomuto záveru dospejeme aj keď to celé zintegrujeme. Najprv si prehádžeme členy, čím si vzťah pripravíme na integráciu:

dz / z = i . d(uhol)

....a môžeme integrovať:

Integrál ( dz / z ) = Integrál ( i . d(uhol) )

"i" je konštanta, takže tá sa integrovaním nemení, preto ide pred integrál:

Integrál ( 1 / z . dz) = i . Integrál d(uhol)

....a už len spočítame a dostaneme:

ln z = i . uhol

zbavíme sa prirodzeného logaritmu ln povýšením oboch strán rovnice do exponentu čísla "e":

z = e^(i.(uhol))

A MÁME TO, o čom som hovoril.

TAK a teraz sa môžeme vrátiť k pôvodnému zápisu čísla "z":

z = cos(uhol) + i.sin(uhol)

Oba vzorce teraz môžeme dať do rovnosti:

e^(i.(uhol)) = cos(uhol) + i.sin(uhol)

....a to je ten tajomný vzťah. Eulerov vzorec. Tajomnosť toho vzorca sa wšte vystupňuje, keď za uhol dosadíme číslo PÍ:

e^(i.pi) = cos(pi) + i.sin(pi)
e^(i.pi) = -1 + i.0
e^(i.pi) = -1

A máme to tu. Záhadný vzťah medzi číslom PÍ a "e", ktorý je celočíselný. Mínus jedna.


3.
označiť príspevok

spm11 muž
   27. 4. 2020, 11:51 avatar
Zaujímavý vzťah tiež získame, keď za uhol dosadíme pí/2:

e^(i.pí/2) = cos(pí/2) + i.sin(pí/2)
e^(i.pí/2) = 0 + i.1
e^(i.pí/2) = i

Keď obe strany zlogaritmujeme, vznikne vzťah:

i.pí/2 = ln(i)
i.pí =2.ln(i)

po vynásobení oboch strán číslom i:

-pí = 2i.ln(i)
tj.:
pí = -2i.ln(i)

Po návrate späť do exponentu dostaneme

e^(pí) = e^(-2i.ln(i))

e^(pí) = i^(-2i)


2.
označiť príspevok

Bijoux žena
   27. 4. 2020, 11:37 avatar
Súhlasí spm11


4.
označiť príspevok

spm11 muž
   27. 4. 2020, 12:02 avatar
Len ešte rozumieť nemčine a budem rád.  


5.
označiť príspevok

Bijoux žena
   27. 4. 2020, 12:19 avatar
11. to je len ozrejmenie k úvodu pre ostatnych .


6.
označiť príspevok

Bijoux žena
   27. 4. 2020, 12:21 avatar
omg, ako sa ten chudák upoteny zase snazí si vynútit pozornost . nezájem  
váš príspevok

Pridávať príspevky môžu iba zaregistrovaní účastníci fóra.

Som zaregistrovaný

nick: heslo:
zostať trvalo prihlásený    
Nie som zaregistrovaný

Vaša prezývka:  

Po zaregistrovaní budete automaticky presmerovaní do tejto témy.

najnovšie príspevky na celom fóre

dnes, 09:45,  Na Slovensku je to myslim len na lekarsky predpis...
dnes, 06:18,  to na bazos daj, tam to skor predas ako tu :)
dnes, 01:40,  v prípade záujmu ma kontaktujte. whatsapp :+420228884444 suzapetrov23@gmail.com
včera, 22:00,  A diskutovať o čom chceš?
včera, 21:58,  Fico je katolík, zrejme preto preto s tebou súhlasí Láska neláskavá.
včera, 21:28,  kiez by vyhrali radsej progresivci ....nech nesklada vladu ten čert Fico aj s tým druhým...
včera, 21:28,  ale ty to mas dost tazke...samych katolikov musis volit......nie je Heger v tych vasich...
včera, 21:12,  progresivci sa budu chciet spojit s kdh a oni im nedovolia bezbrehy liberalizmus zaviest na...
včera, 21:11,  kdh
včera, 20:55,  progresivci maju tiež dost hlasov...na jednej strane to je dobre....a možno aj vyhraju, ale zas...
včera, 20:51,  titi a ty ides koho voliť
včera, 20:50,  tak radsej matovica ako fica alebo mazureka, danka.....
včera, 20:48,  samozrejme.....už som presvedcil styroch, ktorí rezignovali a nechceli volit vobec....budu...
včera, 20:41,  ondrej, stale ides matovica volit ?
včera, 20:39,  Ono, stačí hovoriť: oddeliť zrno od pliev. Aspoň tak som si zvykol. Nemusí ísť o pšenicu.
včera, 20:35,  urcite nie...
včera, 20:31,  tomas je kukol
včera, 20:31,  dokonalý zbor sa tazko hlada....to je ako ked baba tuzi po princovi na bielom koni a skonci ako...
včera, 20:29,  všade je pšenica a kukol...ak vieš o čom hovorím
včera, 20:27,  inac tomas nebude nikde spokojny......
neprehliadnite
vyhľadávanie
 
Spoznaním samého seba spoznáš i ostatných.
Prevádzkuje df.sk | TOPlist
(56 386 bytes in 0,205 seconds)